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Outra forma de calcular potências
Pitágoras descobriu que existe outra forma de calcular potências: através da soma de números ímpares. Ele descobriu que n2 é igual a soma dos n primeiros números naturais ímpares. Exemplo:
4² = 1 + 3 + 5 + 7 = 16
5² = 1+3+5+7+9 = 25
Você sabia...
Se tentar impedir que um espirro seja expelido você pode morrer ao causar a ruptura de uma veia no cérebro ou na nuca. Se mantiver, à força, os olhos abertos durante um espirro é possível que eles saiam das órbitas.
Nariz e orelhas nunca param de crescer
O tecido cartilaginoso, que forma o nariz e as orelhas, não deixa de crescer nem mesmo quando o indivíduo torna-se adulto. Daí porque o nariz e as orelhas de um idoso são maiores do que quando era jovem. A face também encolhe porque os músculos da mastigação se atrofiam com a perda dos dentes.
A Origem do Desodorante
Desde a época do Império Romano que se tenta controlar o suor e o odor produzidos pelas axilas. Os homens desta época usavam pequenas almofadas aromatizadas debaixo das axilas para diminuir o odor provocado pelo suor.
No início do século XX, os Estados Unidos fabricaram um produto a base de sulfato de potássio e sulfato de alumínio, que seria capaz de controlar o suor e diminuir o odor, e deram o nome de desodorante.
Devido o alto preço o produto somente se espalhou no Ocidente. Após a segunda guerra mundial os preços caíram e assim o desodorante se tornou acessível.
Hoje, o desodorante apresenta diversas formas que podem ser escolhidas de acordo com a necessidade de cada um, encontramos desodorantes aromatizados ou sem perfume, com ou sem álcool e os com ou sem agentes bactericidas.
Podem ainda ser antitranspirante que fecha cerca de 50% das glândulas sudoríparas ou antiperspirante que reduz a formação do mau-cheiro e a transpiração.
Vale a pena pensar sobre isso. Material extraído de :http://educar.sc.usp.br/matematica/m2p1t1.htm
Primeiro Contar depois Adicionar ?
É bastante comum a opinião de que, primeiro, a criança deve aprender a contar e escrever números para, depois, aprender as operações. No caso da adição, esta concepção só em parte é verdadeira. Veja:
Na formação da seqüência numérica usada na contagem, está presente a idéia de "somar um":
Em geral, o nome de um número já traz embutida a idéia da adição:
dezoito significa dez e oito, ou seja, dez mais oito, 18 = 10 + 8;
432 = 400 + 30 + 2 quatrocentos e trinta e dois
A adição está associada às idéias de juntar, reunir, acrescentar. Estas idéias intuitivas, que adquirimos na vida e levamos para a escola, constituem o ponto de partida para o aprendizado da adição que, como vimos, está presente na própria noção de número e na construção do sistema de numeração decimal. Não é verdade, portanto, que primeiro deve-se aprender os números para, depois, aprender a adicionar
A TECNICA DO VAI "UM"
história seguinte foi contada por uma professora de matemática.
Numa tarde de domingo, voltando do cinema com meu filho André, paramos numa lanchonete para tomar um guaraná. Depois, ele resolveu pedir um sanduíche de queijo, uma porção de batatas e um sorvete.
Brincando, eu disse: - Se você disser quanto custa tudo isso, eu compro.
André ficou olhando a tabela de preços, tentando encontrar mentalmente a resposta.
- Cinco reais e dez centavos! Foi a resposta.
- Você perdeu o lanche por um real. Mas vou lhe dar outra chance: quanto custa um sanduíche de salame e um sorvete?
Desta vez André pegou um guardanapo e um lápis e fez a conta certa. Ele ganhou o lanche e eu fiquei intrigada, pensando como os balconistas fazem as contas mentalmente, sem usar lápis e papel. Perguntei a meu filho como havia feito a primeira conta e ele descreveu o processo usual do "vai um", ensinado na escola para fazer com lápis e papel.
Então perguntei ao balconista o preço de um sanduíche de queijo, mais uma porção de batatas e um sorvete. Ele pensou um pouco e respondeu:
- É seis reais e dez centavos.
- Certo. Mas como foi que você fez o cálculo?
- Bem, vou explicar. É assim...
Meu filho quis saber então como eu faria, mentalmente, esse cálculo. Descrevi o que faço mentalmente:
Geralmente, nas escolas, não se exercita o cálculo mental. Aprende-se a somar de um único modo, a técnica do "vai um", que torna as pessoas dependentes, como mostra o exemplo de André na lanchonete.
Na técnica do "vai um", somamos da direita para a esquerda (primeiro as unidades, depois as dezenas, etc...).
No cálculo mental, como aqueles feitos pelo balconista e pela professora, as adições são realizadas da esquerda para direita, ou seja, primeiro são somadas as centenas e, depois, acrescentadas as dezenas a as unidades.
CALCULANDO MENTALMENTE A seguir apresentaremos exemplos que ilustram algumas técnicas interessantes e vantajosas para realizar adições mentalmente. Estas técnicas são comumente usadas por comerciantes, por pessoas que calculam pontos de um jogo, etc.
Por que praticar Calculo Mental ?
Em primeiro lugar, é importante que as pessoas desenvolvam suas próprias técnicas de cálculo e não fiquem limitadas a um único processo. Além disso, o cáculo mental estimula a compreensão do sistema de numeração decimal. Por exemplo, quem decompõe mentalmente o número 123 em 100 + 20 + 3, mostra que compreende o princípio aditivo e o valor posicional do nosso sistema de numeração.
No cálculo usamos, intuitivamente, uma série de propriedades da adição. Por exemplo:
Neste cálculo foram usadas estas idéias:
» numa adição podemos trocar a ordem das parcelas e o resultado não se altera;
» numa adição com três parcelas podemos associá-las de qualquer maneira.
Ao praticar o cálculo mental precisamos, primeiro, observar os números que vão ser somados para, em seguida, escolher um procedimento vantajoso: somar os iguais? Apoiar-se no dez, no cem ou no mil? Decompor as parcelas e associá-las convenientemente? Usar um "número redondo"? Qual é o processo mais adequado? Além disso, às vezes, depois de escolhido um procedimento, percebemos que há outro melhor. Tudo isto estimula o raciocínio.
Em resumo, há inúmeras razões que justificam o emprego do cálculo mental. As crianças que são estimuladas a efetuar o cálculo mental demonstram, em geral, mais segurança ao enfrentar situações-problema: mostram-se mais autônomas e com uma capacidade mais ampla de escolher caminhos para obter a solução de um problema. Por fim, parecem compreender com mais facilidade as técnicas usuais de cálculo, como a do "vai um", por exemplo.
NOVAMENTE A TÉCNICA DO VAI UM
Nessa técnica, o primeiro passo é somar as unidades.
12 = 10 + 2
Observe que "vai um", é, na verdade, "vai uma dezena", pois 5 + 7 = 12, ou seja, 10 + 2.
Vamos agora somar as dezenas:
Observe que este "vai um" é, na verdade, "vai uma centena", pois 60 + 60 + 10 = 130, ou seja, 100 + 30.
Agora somamos as centenas:
200 + 100 + 100 = 400
Portanto, 265 + 167 = 432.
A compreensão desta técnica usual de fazer adição exige a compreensão do sistema de numeração decimal. Sem compreender o que significa os símbolos 265 e 167 é impossível entender o processo do "vai um". Ele se apóia na idéia de agrupamento:
10 unidades valem 1 dezena,
10 dezenas valem 1 centena,
etc...
O processo do "vai um" também se baseia no valor posicional e utiliza os princípios aditivo e multiplicativo do nosso sistema de numeração (se necessário, leia novamente o módulo 1). Compreendendo-se o processo, fica claro por que é necessário escrever unidade em baixo de unidade, dezena embaixo de dezena, etc.
QUANDO DEVEMOS SUBTRAIR ?
Vimos que a adição está associada às idéias intuitivas de juntar, reunir, acrescentar. Neste sentido, podemos dizer que a adição é uma operação bastante natural. De um modo geral, não há dificuldades para identificar as situações que envolvem a adição. Entretanto, o mesmo não se passa com a subtração. Em geral, é mais difícil as crianças identificarem a presença da subtração nos problemas. Qual será a razão dessa dificuldade? A razão está no fato de que, geralmente, associamos a subtração apenas ao ato de retirar, mas há outras duas situações que também estão relacionadas com a subtração: os atos de comparar e de completar.
Vamos exemplificar cada uma das três situações:
Problema que envolve o ato de retirar
"Quando Oswaldo abriu a papelaria, pela manhã, havia 56 cadernos na prateleira. Durante o dia vendeu 13. Ao fechar a loja, quantos cadernos havia na prateleira?"
Ao resolver este problema pensamos assim: dos 56 cadernos tiramos 13. Para saber quantos ficaram fazemos uma subtração: 56 - 13 = 43.
No final havia 43 cadernos na prateleira
Problema que envolve comparação
"João pesa 36 quilos e Luís, 70 quilos. Quantos quilos Luís tem a mais que João?"
Esta pergunta envolve uma comparação: ao constatar que Luís é mais pesado que João, queremos saber quantos quilos a mais ele tem. Respondemos a pergunta efetuando uma subtração: 70 - 36 = 34. Luís tem 34 quilos a mais que João.
Problema que envolve a idéia de completar
"O álbum completo terá 60 figurinhas. Já possuo 43. Quantas faltam?"
Para descobrir quantas figurinhas faltam para completar o álbum, pensamos numa subtração: 60 - 43 = 17. Faltam 17 figurinhas.
Pode ser difícil estabelecer distinção entre estas três situações. De certo modo, elas se confundem, na medida em que todas podem se resolvidas com base na mesma operação: a subtração. Entretanto, há uma diferença sutil entre elas.
Consideremos o primeiro problema. É um caso em que é possível pensar no ato de empilhar 56 cadernos, retirar 13 e contar quantos sobraram. Em problemas deste tipo não há dificuldade para identificar a subtração.
Entretanto, no segundo problema, que significado há em tirar os 36 quilos de João dos 70 quilos de Luís? Concretamente esta operação não pode ser realizada. Podemos apenas efetuar uma comparação dos pesos, verificando quantos quilos "a mais" tem João.
Vamos agora ao problema do álbum de figurinhas. Também não faz sentido tirar 43 figurinhas dos 60 lugares vazios do álbum. Nos problemas desse tipo é comum raciocinar pensando em quanto falta para completar uma certa quantidade: se já possuo 43 figurinhas, quantas faltam para completar 60? Note que a idéia envolvida é a de juntar, acrescentar.
O cálculo pode até ser feito por etapas, para ficar mais fácil:
Tenho 43; junto mais 7, fico com 50; tenho 50; junto mais 10; completo as 60 figurinhas. Ah! preciso de 10 + 7 = 17 figurinhas!
A idéia de completar ou de "quanto falta para" leva naturalmente à adição.
Isto é o que fazem, em geral, os caixas de lojas e os comerciantes, quando dão o troco. Por exemplo, numa compra de 2,70 reais em que o freguês paga com uma nota de 5,00 reais, o caixa dá 10 centavos e diz 2,80; dá mais 10, e diz 2,90; dá mais 10 e diz 3,00; dá mais 1,00, diz 4,00 e, finalmente, dá mais 1,00 e diz 5,00 reais.
CALCULO MENTAL E SUBTRAÇÃO
O professor Jorge toma um ônibus para ir de sua casa até a escola onde leciona. Em outubro de 1995, o preço da passagem era de 0,65 reais. Jorge dava ao cobrador 1 real, esperando receber 0,35 de troco. O cobrador pedia-lhe então que facilitasse o troco. Jorge dava mais 0,15 reais e recebia 0,50 de troco.
Estas situações são bastante comuns e você já deve tê-las vivido muitas vezes. Em geral, nestas situações os cálculos são todos realizados mentalmente. Vamos analisar o exemplo do professor Jorge. Ele dava 1 real para pagar 0,65 e esperava receber 0,35. Para facilitar o troco dava três moedas de 5 centavos e então, recebia 0,50. De fato,
compare estas duas subtrações:
1,15 - 0,65 = 0,50.
1,0 - 0,65 = 0,35
(1,0 + 0,15) - 0,65 = (0,35 + 0,15) = 0,50
Podemos pensar assim:
Esta idéia pode ser generalizada deste modo: numa subtração, sempre que o primeiro número é acrescido de uma quantidade qualquer x e o segundo número permanece inalterado, então a diferença é acrescida da mesma quantidade.
A tabela anterior pode ser reescrita de baixo para cima:
Esta idéia pode ser generalizada assim: numa subtração, sempre que o primeiro número é diminuído de uma certa quantidade x e o segundo número permanece inalterado, então a diferença fica diminuída de mesma quantidade x.
SUBTRAÇÃO E A TÉCNICA DA COMPENSAÇÃO
A outra técnica usada para subtrair baseia-se numa propriedade da subtração que é denominada compensação.
Vamos primeiro compreender a propriedade.
Veja o exemplo:
Zilda tem 167 centímetros de altura e Paulo mede 140 centímetros. Logo, Zilda tem 27 centímetros a mais que Paulo.
Se Zilda subir num banco de 30 centímetros de altura e Paulo também subir num banco de 30 centímetros de altura, é claro que Zilda continuará tendo 27 centímetros a mais do que Paulo.
Esta idéia pode ser realizada desta forma: na subtração de dois números, sempre que ambos aumentam do mesmo tanto a diferença entre eles permanece inalterada. Em outras palavras o aumento do primeiro número é compensado pelo aumento do segundo número. Daí o nome: propriedade da compensação. Assim, por exemplo, a diferença entre 725 e 431 é igual à diferença entre 825 e 531, pois ambos os números foram aumentados em uma centena:
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